個別教師Campブログ

こんにちは、個別教師Campライターの内海です。

いよいよ夏期講習が本格的に始まります。
特に受験生はこの夏休みが頑張りどころです！一緒に頑張っていきましょう。
さて今回は、平方完成の解き方を詳しく説明していきます。

平方完成ってなに？

a≠0の時、２次式 ax^2+bx+cをa(x+p)^2+q の形に変形することを平方完成といいます。

平方完成の解き方

以下の例題を使って、平方完成のやり方を説明していきます。

x^2+8x-3を平方完成せよ。

平方完成のポイントは、乗法公式 ax^2±2ab+b^2=(a±b)^2 の形を作ることです。

ステップ1

xの項から2をくくり出す

以下のように、ax^2±2ab+b^2 の2の部分を作っています。
x^2+8x-3
=x^2+2・4x-3

※xの係数が奇数であっても、無理やり2をくくり出すようにしましょう。
例えば、3x=2・ 3/2 xのように、2をくくり出す代わりに 1/2 をかけます。

ステップ2

xの係数の半分の2乗を足し引きする

次に、ax^2±2ab+b^2 のb^2 の部分を作るために 、
ステップ1で2をくくり出した後に残った2乗を足します。
ただ、足すだけだとつじつまが合わないため、同じ数を引きます。
x^2+8x-3
=x^2+2・4x-3
=(x^2+2・4z+4^2-4^2)-3

ステップ3

因数分解して平方の形を作る

カッコ内に、ax^2±2ab+b^2ができたので、(a±b)^2 に因数分解します。
x^2+8x-3
=x^2+2・4x-3
=(x^2+2・4z+4^2-4^2 )-3
=(x^2+4-4^2 )-3

ステップ4

式を整理する
最後にカッコを外したり、定数項をまとめたりと、式を整理すれば平方完成の完成です。
カッコを外す際、符号ミスをしないよう注意してください。
x^2+8x-3=x^2+2・4x-3
=(x^2+2・4z+4^2-4^2 )-3
=(x^2+4-4^2 )-3
=(x^2+4)-19

実際に平方完成の問題を解いてみよう

問題

〖2x〗^2+8x+5を平方完成しなさい。

解答

2( x+2)^2+3

解説

ステップ1に入る前に、定数項以外をx^2でくくらなければなりません。
〖2x〗^2+8x+5
=2(x^2+4)+5

※くくる係数が負の時は、カッコ内の符号は変わるので、要注意です。

ステップ1

xの項から2をくくり出す
〖2x〗^2+8x+5
=2(x^2+4)+5
=2(x^2+2・2x)+5

ステップ2

xの係数の半分の2乗を足し引きする
〖2x〗^2+8x+5
=2(x^2+4)+5
=2(x^2+2・2x)+5
=2(x^2+2・2x+2^2-2^2 )+5

ステップ3

因数分解して平方の形を作る
〖2x〗^2+8x+5
=2(x^2+4)+5
=2(x^2+2・2x)+5
=2(x^2+2・2x+2^2-2^2 )+5
=2(x+2)^2-2・2^2+5

ステップ4

式を整理する
〖2x〗^2+8x+5
=2(x^2+4)+5
=2(x^2+2・2x)+5
=2(x^2+2・2x+2^2-2^2 )+5
=2(x+2)^2-2・2^2+5
=2(x+2)^2-8+5
=2( x+2)^2+3

上記の解き方で平方完成をすることが出来ます。

まとめ
今回は、平方完成の解き方を説明しました。
平方完成は、中学3年生で習う2次方程式だけでなく高校1年生で習う2次関数でも扱います。
たくさんの問題を解いて、確実にできるようにしましょう！

初めての方へ