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【中学数学】 平方完成をマスターしよう!

2024.06.19

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こんにちは、個別教師Campライターの内海です。

いよいよ夏期講習が本格的に始まります。
特に受験生はこの夏休みが頑張りどころです!一緒に頑張っていきましょう。
さて今回は、平方完成の解き方を詳しく説明していきます。

平方完成ってなに?

a≠0の時、2次式 ax^2+bx+cをa(x+p)^2+q の形に変形することを平方完成といいます。

 

平方完成の解き方

以下の例題を使って、平方完成のやり方を説明していきます。

x^2+8x-3を平方完成せよ。

平方完成のポイントは、乗法公式 ax^2±2ab+b^2=(a±b)^2 の形を作ることです。

 

ステップ1

xの項から2をくくり出す

以下のように、ax^2±2ab+b^2 の2の部分を作っています。
x^2+8x-3
=x^2+2・4x-3

※xの係数が奇数であっても、無理やり2をくくり出すようにしましょう。
例えば、3x=2・ 3/2 xのように、2をくくり出す代わりに 1/2 をかけます。

 

ステップ2

xの係数の半分の2乗を足し引きする

次に、ax^2±2ab+b^2 のb^2 の部分を作るために 、
ステップ1で2をくくり出した後に残った2乗を足します。
ただ、足すだけだとつじつまが合わないため、同じ数を引きます。
x^2+8x-3
=x^2+2・4x-3
=(x^2+2・4z+4^2-4^2)-3

 

ステップ3

因数分解して平方の形を作る

カッコ内に、ax^2±2ab+b^2ができたので、(a±b)^2 に因数分解します。
x^2+8x-3
=x^2+2・4x-3
=(x^2+2・4z+4^2-4^2 )-3
=(x^2+4-4^2 )-3

 

ステップ4

式を整理する
最後にカッコを外したり、定数項をまとめたりと、式を整理すれば平方完成の完成です。
カッコを外す際、符号ミスをしないよう注意してください。
x^2+8x-3=x^2+2・4x-3
=(x^2+2・4z+4^2-4^2 )-3
=(x^2+4-4^2 )-3
=(x^2+4)-19

実際に平方完成の問題を解いてみよう

問題

〖2x〗^2+8x+5を平方完成しなさい。

解答

2( x+2)^2+3

 

解説

ステップ1に入る前に、定数項以外をx^2でくくらなければなりません。
〖2x〗^2+8x+5
=2(x^2+4)+5

※くくる係数が負の時は、カッコ内の符号は変わるので、要注意です。

ステップ1

xの項から2をくくり出す
〖2x〗^2+8x+5
=2(x^2+4)+5
=2(x^2+2・2x)+5

 

ステップ2

xの係数の半分の2乗を足し引きする
〖2x〗^2+8x+5
=2(x^2+4)+5
=2(x^2+2・2x)+5
=2(x^2+2・2x+2^2-2^2 )+5

ステップ3

因数分解して平方の形を作る
〖2x〗^2+8x+5
=2(x^2+4)+5
=2(x^2+2・2x)+5
=2(x^2+2・2x+2^2-2^2 )+5
=2(x+2)^2-2・2^2+5

ステップ4

式を整理する
〖2x〗^2+8x+5
=2(x^2+4)+5
=2(x^2+2・2x)+5
=2(x^2+2・2x+2^2-2^2 )+5
=2(x+2)^2-2・2^2+5
=2(x+2)^2-8+5
=2( x+2)^2+3

上記の解き方で平方完成をすることが出来ます。

 

まとめ
今回は、平方完成の解き方を説明しました。
平方完成は、中学3年生で習う2次方程式だけでなく高校1年生で習う2次関数でも扱います。
たくさんの問題を解いて、確実にできるようにしましょう!

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【この記事を書いた人】
内海
【略歴】
学生時代から個別指導塾で講師として研鑽を積み、現在は塾講師として就職。最速でena個別の校長に就任し現在に至ります。これまでの指導経験を活かした情報や得意科目である理系科目の情報を中心に発信していきます。大学時代は学芸学部にて数学の微分・積分を中心に研究してきました。これまでに都立三鷹中や調布北高校・武蔵野北高校・多摩大学附属聖ヶ丘高校などの指導実績があります。

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